- Копроизведение
-
Копроизведение (категорная сумма) семейства объектов — обобщение в теории категорий для понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это наиболее общий объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, реально произведение и копроизведение объектов разительно отличаются.
Содержание
Определение
Пусть — категория, — индексированное семейство её объектов. Копроизведение этого семейства — это такой объект , вместе с морфизмами , называемыми каноническими вложениями или каноническими инъекциями (хотя они не обязаны быть инъекциями), что для любого и семейства морфизмов существует единственный морфизм , такой что , то есть следующая диаграмма коммутативна для всех :
Копроизведение семейства обычно обозначают
или
Иногда морфизм обозначают
чтобы подчеркнуть его зависимость от .
Копроизведение двух объектов обычно обозначают или , тогда диаграмма принимает вид
Соответственно, обозначают при этом , или .
Единственность результата операции можно альтернативно выразить как равенство , верное для любых . [1]
Существует эквивалентное определение копроизведения. Копроизведение семейства — это такой объект , что для любого объекта функция , заданная как , биективна. [2]
Примеры
Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.Свойства
- Если сумма объектов существует, то она единственна с точностью до изоморфизма.
- Коммутативность:
- Ассоциативность:
- Если в категории существует начальный объект , то
- Категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется инициальный объект, является симметричным моноидом.
Дистрибутивность
В общем случае существует канонический морфизм , где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:
Свойство универсальности для гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.
Матрица преобразований
Любой морфизм
порождает множество морфизмов
задаваемых по правилу и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования задаёт единственный соответствующий морфизм Если в категории существует нулевой объект для которого для любого объекта существует единственный морфизм и единственный морфизм , то матрица преобразования , задаваемая по правилу
называется единичной матрицей.
- Пример
В категории конечномерных векторных пространств копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное понимание матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных. При этом матрица преобразования всего пространства задаётся через указание образов соответствующих базисных векторов и продолжение преобразования на всё пространство по линейности единственным образом.
Примечания
Литература
- С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
См. также
- Произведение (теория категорий) — двойственное понятие.
Категория:- Теория категорий
Wikimedia Foundation. 2010.